より自明な場合から考える。逆から考える。

行列A,Bがあって"AB = A+B"が成り立つとき、BAを求めるって問題。どう考えたら解答に近づけるだろうかと考えてた。行列式、逆行列の性質、線形独立の条件あたりを探索していけば、解法に近づくんだろうか？うーん。

2012-09-29 10:07:28 via web

これだとさすがに方針が立たないから、AB=A+Bならば[A,B]=0を示せという問題ということにします。

最初はエルミート行列とかで考えたら良いかもしれない。[A,B]=0は同時対角化できるから固有ベクトルvに対してBv=bv, Av=av。ABv=(A+B)vからa=b/(b-1).ここで"ひらめいて"a-1 = 1/(b-1)だからdet(A-1)det(B-1)=1と気づくと。

2012-09-29 10:53:07 via web

設定より厳しい条件にして、逆から考えています。行列式は行列の固有値の積なのでdet(A-1)とdet(B-1)は逆数になります。

それでdet(A-1)det(B-1)=det((A-1)(B-1)) = 1になる。でもよくよく考えると(A-1)(B-1)=AB-(A+B)+1=1になる。これは、エルミート行列でなくても成り立つから一般に、(B-1)は(A-1)の逆行列になってるってことに気づくと。

2012-09-29 10:56:18 via web

エルミート行列で[A,B]=0ならばdet( (A-1)(B-1) )=1を得たのを反省してみて、別にエルミート行列でなくてもAB=A+Bならば(A-1)(B-1)=1だからdet( (A-1)(B-1) )=1なんだと気付きます。またdet(A-1)det(B-1)=1からA-1は正則で、B-1はA-1の逆行列だということも分かります。

だから(B-1)(A-1)=1が成り立つ。ここからBA = A+Bが得られるというストーリー。

2012-09-29 10:57:59 via web

うん。あまり計算をしないぼくは(A-1)(B-1)=1なんて関係をいきなり見抜けないからこんな感じで考えていけば、答えに辿り着けるかもしれない。うんうん。