行列式の問題

次の行列の行列式はどうなるでしょうか？
\[
\left(
\begin{array}{cccc}
1 + \frac{p_{1}}{p_{k}} & \frac{\sqrt{p_{1}p_{2}}}{p_{k}} & \ldots & \frac{\sqrt{p_{1}p_{k-1}}}{p_{k}} \\
\frac{\sqrt{p_{1}p_{2}}}{p_{k}} & 1 + \frac{p_{2}}{p_{k}} & \ldots & \frac{\sqrt{p_{2}p_{k-1}}}{p_{k}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ldots \\
\frac{\sqrt{p_{1}p_{k-1}}}{p_{k}} & \frac{\sqrt{p_{2}p_{k-1}}}{p_{k}} & \ldots & 1 + \frac{p_{k-1}}{p_{k}}\\
\end{array}
\right)
\]
ただし、\(k \ge 3\)とします。\(k = 3\)の場合は、次のように書けます。
\[
\left(
\begin{array}{cc}
1 + \frac{p_{1}}{p_{3}} & \frac{\sqrt{p_{1}p_{2}}}{p_{3}}\\
\frac{\sqrt{p_{1}p_{2}}}{p_{3}} & 1 + \frac{p_{2}}{p_{3}}\\
\end{array}
\right)
\]