「行列のトレースは固有値の和」の証明が簡単にならないか考えてみた

数学：物理を学び楽しむために(MB120321.pdf)p371の定理6.34の(6.5.12)の左の証明についてです。証明の中で

代入すればすぐにわかるのだが、もっとエレガントなやり方はないかなあ？

と書かれていたのでエレガントか分かりませんが、簡単にならないか考えてみました。ただしオリジナルと異なり、行列 $A$ の固有値 $\lambda_{i}~~(i=1,\ldots ,d)$ は全て互いに異なるとします。

証明したいこと

固有値に縮退の無い行列 $A$ のトレースは $\mathrm{Tr} A = \sum_{i=1}^{d}\lambda_{i}$ である。

証明

固有値に縮退がないので定理6.36から固有ベクトル $\vec{v}_{i}~~(i=1,\ldots ,d)$ は線形独立である。従って $P =(\vec{v}_{1}~~\vec{v}_{2}~~\ldots ~~\vec{v}_{d})$ は正則であり、逆行列を持つ。 $A\vec{v}_{i} = \lambda_{i}\vec{v}_{i}$ なので
$AP = P\Lambda,~~ \left(\Lambda\right)_{i,j} = \lambda_{i}\delta_{i,j}$
である。左から $P^{-1}$ を掛けると $P^{-1}AP=\Lambda$ とも書ける。この関係を使うと $\mathrm{Tr}A$ は次のように変形できる。
$ \mathrm{Tr}A = \mathrm{Tr}\left(PP^{-1}APP^{-1}\right) = \mathrm{Tr}\left(P\Lambda P^{-1}\right) $
ここで $\mathrm{Tr}(AB) = \mathrm{Tr}(BA)$ を使うと次のようにして行列のトレースが固有値の和であることが分かる。
$ \mathrm{Tr}A = \mathrm{Tr}\left(P^{-1}P\Lambda\right) = \mathrm{Tr} \Lambda = \sum_{i=1}^{d}\lambda_{i} $