ルンゲ-レンツベクトル
クーロン力が粒子に働くとき、ルンゲ-レンツベクトルが保存することは、直接時間微分することで確認できます。この量はどこから出てくるのか調べてみました。
説明無しに使う主な事柄
- 作用Sとすると、座標\(q\)に共役な運動量は\(\frac{\partial S}{\partial q}\)
- 循環変数\(q\)があるとき、共役な運動量を\(p\)とすると\(pq \subset S\)である。
- エネルギーが保存するとき、作用は\(S = S_{0}(p,q) - Et\)の形をしている。
- 作用は\(\frac{\partial S}{\partial t} + H(q,\partial S/\partial q) =0\)の解(ハミルトンヤコビ方程式)
- 角運動量をデカルト座標で\(\boldsymbol{L} = \boldsymbol{x} \times \boldsymbol{p}\)で定義する
保存量の探索
粒子にクーロン力の働く場合のラグランジアンは
\[ L = \frac{m}{2}\boldsymbol{v}^{2} - \frac{\alpha}{r}\]
である。放物線座標系でハミルトニアンを書く。すると
\[ H = H(\xi,\zeta, p_{\xi}, p_{\zeta},p_{\phi})\]
になる。エネルギーは保存し、\(\phi\)は循環座標だから
\[ S = p_{\phi}\phi + S_{0} - Et\]
となる。運動量を作用の導関数で書きなおすと、ハミルトニアンは座標の関数として書くことができる。\(S_{0} = S_{\xi}(\xi)+S_{\zeta}{\zeta}\)となるように、方程式の解の形を仮定すると\(p_{i} = \frac{\partial S_{q}(q)}{\partial q}\)となり、ハミルトニアンは次のようになる。
\[H = \frac{\bar{H}_{\xi}(\xi) + \bar{H}_{\zeta}(\zeta)}{m(\xi+\zeta)} \]
エネルギーが保存するので、全体に\(m(\zeta+\xi)\)をかけると
\[(\bar{H}_{\xi} - \bar{E}m\xi)+(\bar{H}_{\zeta} - Em\zeta) = H_{\xi} + H_{\zeta} = 0\]
が成り立つので\(H_{q}\)もそれぞれ一定の値を取る。
\[H_{\zeta} = - H_{\xi} = \mathrm{const.}\]
\(\phi\)をz軸周りの角度に取ったとすると
\[(\boldsymbol{A})_{z} = \frac{H_{\zeta}-H_{\xi}}{2} = \left(\boldsymbol{p}\times \boldsymbol{L} + \frac{\alpha}{r}\boldsymbol{r}\right)_{z}\]
になる。他の座標周りについても同様のことが言えるので、ベクトル\(\boldsymbol{A}\)は保存する。このベクトルはルンゲ-レンツベクトルと呼ばれている。
計算問題
ラグランジアンの計算
円筒座標と放物線座標を
\[
\begin{align*}
x &= \rho \cos \phi,~~y = \rho \sin \phi\\
r &= \sqrt{\rho^{2}+z^{2}} = \frac{1}{2}\left(\xi + \zeta\right),
~~z = \frac{1}{2}\left(\xi - \zeta\right),~~\rho =\sqrt{\xi\zeta}\\
\xi &=r + z,~~\zeta = r - z\\
\end{align*}
\]
で定義する。ラグランジアンはそれぞれ
\[
\begin{align*}
L &= \frac{1}{2m}\left(\dot{\rho}^{2} + \rho^{2}\dot{\phi}^{2} + \dot{z}^{2}\right) - U\\
&= \frac{m}{8}(\xi + \zeta)\left(\frac{\dot{\xi}^{2}}{\xi} + \frac{\dot{\zeta}^{2}}{\zeta}\right)+\frac{m}{2}\xi\zeta\dot{\phi}^{2} - U
\end{align*}
\]
になることを示せ。
ハミルトニアンの計算
\(\partial L/\partial \dot{q}\)で運動量を求め、\(H = T + U\)から求めたハミルトニアンがそれぞれ次のようになることを示せ。
\[
\begin{align*}
H &= \frac{1}{2m}\left(p_{\rho}^{2}+p_{z}^{2}+\frac{p_{\phi}^{2}}{m\rho^{2}}\right) + U\\
&= \frac{2}{m}\frac{\xi p_{\xi}^{2}+\zeta p_{\zeta}^{2}}{\xi+\zeta} + \frac{p_{\phi}^{2}}{2m\xi\zeta} + U
\end{align*}
\]
変数分離
\(U = \alpha/r\)としたとき、変数分離できて、エネルギー\(E\),ルンゲ-レンツベクトル\(A_{z}\)はそれぞれ次のように書けることを示せ。
\[
\begin{align*}
E &= \frac{1}{2m}\left(p_{\rho}^{2}+p_{z}^{2}+\frac{p_{\phi}^{2}}{m\rho^{2}}\right) + \frac{\alpha}{r}\\
(A)_{z} &= (\zeta p_{\xi}^{2}-\zeta p_{\zeta}^{2}) + z(mE) + \frac{p_{\phi}^{2}z}{2\rho^{2}}\\
&= \left[p_{\rho}(z p_{\rho} - \rho p_{z}) + \frac{p_{\phi}^{2}}{\rho^{2}}z\right]+\frac{m\alpha z}{r}~~(1)
\end{align*}
\]
\(E\)の右辺を\(A_{z}\)の右辺の一段目に代入して、
\[
\begin{align*}
p_{\zeta} &= \frac{\partial S}{\partial \zeta} = \frac{\partial \rho}{\partial \zeta}p_{\rho} + \frac{\partial z}{\partial \zeta}p_{z}\\
&= \frac{1}{2}\left(\frac{\xi p_{\rho}}{\rho} - p_{z}\right)\\
p_{\xi} &= \frac{\partial S}{\partial \xi} = \frac{\partial \rho}{\partial \xi}p_{\rho} + \frac{\partial z}{\partial \xi}p_{z}\\
&= \frac{1}{2}\left(\frac{\zeta p_{\rho}}{\rho} + p_{z}\right)
\end{align*}
\]
を使う。
ルンゲ-レンツベクトル
ルンゲ-レンツベクトル\(\boldsymbol{A}\)のz成分をデカルト座標から円柱座標に変換し、(1)に一致すること、また定義式を直接時間微分すると0になることを確かめよ。
対称性
この保存量をネーターチャージとして定義することはできるか。
